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导函数连续原函数一定连续。原函数有导函数，所以原函数必定连续。原函数是指对于千一个定义在某区间的已知函数fx，如果存在可导函数Fx，使得在该区间内的任一点都存在dFx等于fxdx，则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数，已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v等于vt，要求它的运动规律，就是求v等于vt的原函数，原函数的存在问题是微积分学的基本理论问问题，当fx为连续函数时，其原函数一定存在，若函数fx在某区间上连续，则fx在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为原函数存在定理。
注意导函数极限定理的前提条件是,f(x)在x0的某个邻域连续,去心邻域可导.不要光记住结论,要记完整一句话好吗?
在这个前提下,如果导函数f'(x)在x0处有极限,那么f(x)在x0处必可导,并且导数就等于f'(x)的极限.这个定理说明如果f'(x)在某点有极限,则f'(x)在该点必连续,所以又叫做导函数连续定理.
这个定理的否命题是假的,即在大前提条件不变的情况下,导函数在某点不存在极限,不代表原函数在该点不可导.
例如f(x)=x?sin(1/x),x≠0.f(x)=0,x=0.这是一个分段函数,由于lim(x→0)f(x)=有界函数乘以无穷小=0=f(0),因此f(x)在R上是连续的.
当x≠0时,f'(x)=[x?sin(1/x)]'=2xsin(1/x)-cos(1/x).显然当x→0时,f'(x)极限不存在,但根据导数的定义,f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)xsin(1/x)=0,即f(x)在x=0处可导.所以否命题为假.
由于命题与其逆否命题等价,所以导函数在某点不存在极限,则原函数在该点不可导这句话是假的,那么原函数在某点可导,则导函数在该点存在极限也是假的.这句话恰好是导函数连续定理的逆命题,逆命题为假,因此导函数极限存在只是原函数在该点可导的充分条件,而不是必要条件.
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